Contoh Soal Binomial Newton (Ekspansi Binomial) :
Untuk memudahkan menghitung bentuk kombinasi, silahkan baca materi kombinasi pada artikel “kombinasi pada peluang“.
1). Jabarkan bentuk binomial berikut ini: a). $ (x+2)^4 $ b). $ (2a + 3b)^3 $ c). $ (a – 2b)^3 $ d). $ \left( x + \frac{2}{x} \right)^5 $ Penyelesaian : a). $ (x+2)^4 \, $ artinya $ n = 4 $ $ \begin{align} (a+b)^n & = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n a^{n-r}b^r \\ (x+2)^4 & = \displaystyle \sum_{r=0}^4 C_r^4 x^{4-r}2^r \\ & = C_0^4 x^{4-0}2^0 + C_1^4 x^{4-1}2^1 + C_2^4 x^{4-2}2^2 + C_3^4 x^{4-3}2^3 + C_4^4 x^{4-4}2^4 \\ & = 1. x^{4}.1 + 4. x^{3}.2 + 6. x^{2}.4 + 4. x^{1}.8 + 1. x^{0}.16 \\ (x+2)^4 & = x^{4} + 8x^{3} + 24 x^{2} + 32x + 16 \end{align} $
b). $ (2a + 3b)^3 \, $ artinya $ n = 3 $ $ \begin{align} (x+y)^n & = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n x^{n-r}y^r \\ (2a + 3b)^3 & = \displaystyle \sum_{r=0}^3 C_r^3 (2a)^{3-r}(3b)^r \\ & = C_0^3 (2a)^{3-0}(3b)^0 + C_1^3 (2a)^{3-1}(3b)^1 + C_2^3 (2a)^{3-2}(3b)^2 + C_3^3 (2a)^{3-3}(3b)^3 \\ & = 1. (2a)^{3} .1 + 3. (2a)^{2}(3b) + 3. (2a)^{1}(3b)^2 + 1. (2a)^{0}(3b)^3 \\ & = 1. 2^3.a^3 .1 + 3. 2^2.a^2.(3b) + 3. (2a).3^2.b^2 + 1. 1.3^3.b^3 \\ (2a + 3b)^3 & = 8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3 \end{align} $
c). $ (a – 2b)^3 \, $ artinya $ n = 3 $ $ \begin{align} (x+y)^n & = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n x^{n-r}y^r \\ (a-2b)^3 & = (a + (-2b))^3 \displaystyle \sum_{r=0}^3 C_r^3 a^{3-r}(-2b)^r \\ & = C_0^3 a^{3-0}(-2b)^0 + C_1^3 a^{3-1}(-2b)^1 + C_2^3 a^{3-2}(-2b)^2 + C_3^3 a^{3-3}(-2b)^3 \\ & = 1. a^{3}.1 + 3. a^{2}(-2b) + 3. a^{1}(-2b)^2 + 1. a^{0}(-2b)^3 \\ & = a^{3} + 3. a^{2}(-2b) + 3. a.(-2)^2.b^2 + 1. 1.(-2)^3.b^3 \\ (a-2b)^3 & = a^{3} -6a^2b + 12ab^2 -8b^3 \end{align} $
d). $ \left( x + \frac{2}{x} \right)^5 \, $ artinya $ n = 5 $ $ \begin{align} (a+b)^n & = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n a^{n-r}b^r \\ \left( x + \frac{2}{x} \right)^5 & = \displaystyle \sum_{r=0}^5 C_r^5 x^{5-r} \left( \frac{2}{x} \right)^r \\ & = C_0^5 x^{5-0} \left( \frac{2}{x} \right)^0 + C_1^5 x^{5-1} \left( \frac{2}{x} \right)^1 + C_2^5 x^{5-2} \left( \frac{2}{x} \right)^2 \\ & + C_3^5 x^{5-3} \left( \frac{2}{x} \right)^3 + C_4^5 x^{5-4} \left( \frac{2}{x} \right)^4 + C_5^5 x^{5-5} \left( \frac{2}{x} \right)^5 \\ & = 1. x^{5} .1 + 5. x^{4} \left( \frac{2}{x} \right) + 10. x^{3} \left( \frac{2^2}{x^2} \right) \\ & + 10. x^{2} \left( \frac{2^3}{x^3} \right) + 5. x^{1} \left( \frac{2^4}{x^4} \right) + 1. x^{0} \left( \frac{2^5}{x^5} \right) \\ & = x^5 + 5. x^{4} \left( \frac{2}{x} \right) + 10. x^{3} \left( \frac{4}{x^2} \right) \\ & + 10. x^{2} \left( \frac{8}{x^3} \right) + 5. x^{1} \left( \frac{16}{x^4} \right) + 1. x^{0} \left( \frac{32}{x^5} \right) \\ & = x^5 + 10 x^{3} + 40 x^{1} \\ & + 80 \left( \frac{1}{x} \right) + 80 \left( \frac{1}{x^3} \right) + \left( \frac{32}{x^5} \right) \\ \left( x + \frac{2}{x} \right)^5 & = x^5 + 10 x^{3} + 40 x + \frac{80}{x} + \frac{80}{x^3} + \frac{32}{x^5} \end{align} $
Judul Aktivitas: "Mengupas Ekspansi Binomial"
Mendapatkan pemahaman yang kuat tentang ekspansi binomial Newton dan jumlah dari koefisiennya, dengan mempraktikkan penyelesaian soal tentang topik tersebut dan berdiskusi secara kelompok. Tujuan utama proyek ini adalah untuk belajar menghitung soal binomial yang melibatkan jumlah koefisien dari ekspansi binomial.
Langkah-langkah Detail untuk Melakukan Aktivitas
Setelah menyelesaikan bagian praktis, setiap kelompok harus membuat laporan tertulis yang mencakup topik-topik berikut:
Siswa harus membuat kontekstualisasi dari topik "Jumlah Koefisien Binomial" dan relevansinya di dunia nyata. Selain itu, tujuan dari proyek ini harus dinyatakan dengan jelas.
Di bagian ini, siswa harus menjabarkan teori "Jumlah Koefisien Binomial". Mereka harus menjelaskan aktivitas yang dilakukan secara detail, menunjukkan metodologi yang digunakan dan terakhir, menyajikan dan mendiskusikan hasil yang didapat.
Siswa harus merefleksikan tentang pembelajaran utama yang didapat selama proyek dan aplikasi praktis dari teori yang dipelajari. Penting bagi siswa untuk tidak hanya menunjukkan penyelesaian masalah, tetapi juga bagaimana mereka bekerja sama untuk mencapai hasil.
Siswa harus mengutip semua sumber informasi yang digunakan untuk mempersiapkan proyek. Ini termasuk buku, situs web, video, dan lain-lain.
Laporan final harus diserahkan seminggu dari tanggal dimulainya proyek.
- Sebelumnya kita telah belajar materi "Kombinasi pada Peluang dan Contohnya" yang merupakan bagian dari
. Ternyata konsep kombinasi bisa dikembangkan pada pembahasan
. Pada artikel kali ini kita akan membahas lebih spesipik tentang
mempelajari tentang cara penjabaran(ekspansi) bentuk pangkat aljabar yang terdiri dari dua suku (
Untuk menjabarkan bentuk pangkat aljabar dua suku bisa menggunakan sigitiga
seperti berikut ini :
tersebut dapat membantu dalam penjabaran pangkat dua suku berikut dimana angka-angka pada segitiga pascal merupakan koefisien dari setiap sukunya:
$ \begin{align} (a+b)^0 & = 1 \\ (a+b)^1 & = a + b \\ (a+b)^2 & = a^2 + 2ab + b^2 \\ (a+b)^3 & = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \\ (a+b)^4 & = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + y^4 \\ (a+b)^5 & = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5 \\ (a+b)^n & = ..... \end{align} $
Tetapi ada metode lain yang lebih mudah diterapkan untuk mencari koefisien binomial yaitu dengan menggunakan Konsep kombinasi $ C_r^n \, $ yang dinamakan
, sehingga segitiga pascal dapat ditulis sebagai berikut.
Konsep Binomial Newton (Ekspansi Newton)
Berikut adalah rumus Binomial Newton secara umum : $(a+b)^n = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n a^{n-r}b^r \, \, $ atau $ (a+b)^n = C_0^n a^n + C_1^n a^{n-1}b + ... + C_{n-1}^nab^{n-1} + C_n^nb^n $ dengan $ n, \, r \, $ adalah bilangan asli.
Bentuk $ \displaystyle \sum_{r=0}^n \, $ disebut notasi sigma yang merupakan pejumlahan.
Berikut beberapa contoh notasi sigma :
$ \displaystyle \sum_{r=0}^3 r^2 = 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^3 $
$ \displaystyle \sum_{i=2}^5 (2i+1) = (2.2+1) + (2.3+1) + (2.4+1) + (2.5+1) $
$ \displaystyle \sum_{k=1}^9 (k^3 + k) = (1^3 + 1) + (2^3 + 2) + (3^3 + 3) + (4^3 + 4) + ... + (9^3 + 9) $
Contoh Soal Binomial Newton (Ekspansi Binomial) :
Untuk memudahkan menghitung bentuk kombinasi, silahkan baca materi kombinasi pada artikel "
1). Jabarkan bentuk binomial berikut ini:
d). $ \left( x + \frac{2}{x} \right)^5 $
a). $ (x+2)^4 \, $ artinya $ n = 4 $
$ \begin{align} (a+b)^n & = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n a^{n-r}b^r \\ (x+2)^4 & = \displaystyle \sum_{r=0}^4 C_r^4 x^{4-r}2^r \\ & = C_0^4 x^{4-0}2^0 + C_1^4 x^{4-1}2^1 + C_2^4 x^{4-2}2^2 + C_3^4 x^{4-3}2^3 + C_4^4 x^{4-4}2^4 \\ & = 1. x^{4}.1 + 4. x^{3}.2 + 6. x^{2}.4 + 4. x^{1}.8 + 1. x^{0}.16 \\ (x+2)^4 & = x^{4} + 8x^{3} + 24 x^{2} + 32x + 16 \end{align} $
b). $ (2a + 3b)^3 \, $ artinya $ n = 3 $
$ \begin{align} (x+y)^n & = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n x^{n-r}y^r \\ (2a + 3b)^3 & = \displaystyle \sum_{r=0}^3 C_r^3 (2a)^{3-r}(3b)^r \\ & = C_0^3 (2a)^{3-0}(3b)^0 + C_1^3 (2a)^{3-1}(3b)^1 + C_2^3 (2a)^{3-2}(3b)^2 + C_3^3 (2a)^{3-3}(3b)^3 \\ & = 1. (2a)^{3} .1 + 3. (2a)^{2}(3b) + 3. (2a)^{1}(3b)^2 + 1. (2a)^{0}(3b)^3 \\ & = 1. 2^3.a^3 .1 + 3. 2^2.a^2.(3b) + 3. (2a).3^2.b^2 + 1. 1.3^3.b^3 \\ (2a + 3b)^3 & = 8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3 \end{align} $
c). $ (a - 2b)^3 \, $ artinya $ n = 3 $
$ \begin{align} (x+y)^n & = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n x^{n-r}y^r \\ (a-2b)^3 & = (a + (-2b))^3 \displaystyle \sum_{r=0}^3 C_r^3 a^{3-r}(-2b)^r \\ & = C_0^3 a^{3-0}(-2b)^0 + C_1^3 a^{3-1}(-2b)^1 + C_2^3 a^{3-2}(-2b)^2 + C_3^3 a^{3-3}(-2b)^3 \\ & = 1. a^{3}.1 + 3. a^{2}(-2b) + 3. a^{1}(-2b)^2 + 1. a^{0}(-2b)^3 \\ & = a^{3} + 3. a^{2}(-2b) + 3. a.(-2)^2.b^2 + 1. 1.(-2)^3.b^3 \\ (a-2b)^3 & = a^{3} -6a^2b + 12ab^2 -8b^3 \end{align} $
d). $ \left( x + \frac{2}{x} \right)^5 \, $ artinya $ n = 5 $
$ \begin{align} (a+b)^n & = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n a^{n-r}b^r \\ \left( x + \frac{2}{x} \right)^5 & = \displaystyle \sum_{r=0}^5 C_r^5 x^{5-r} \left( \frac{2}{x} \right)^r \\ & = C_0^5 x^{5-0} \left( \frac{2}{x} \right)^0 + C_1^5 x^{5-1} \left( \frac{2}{x} \right)^1 + C_2^5 x^{5-2} \left( \frac{2}{x} \right)^2 \\ & + C_3^5 x^{5-3} \left( \frac{2}{x} \right)^3 + C_4^5 x^{5-4} \left( \frac{2}{x} \right)^4 + C_5^5 x^{5-5} \left( \frac{2}{x} \right)^5 \\ & = 1. x^{5} .1 + 5. x^{4} \left( \frac{2}{x} \right) + 10. x^{3} \left( \frac{2^2}{x^2} \right) \\ & + 10. x^{2} \left( \frac{2^3}{x^3} \right) + 5. x^{1} \left( \frac{2^4}{x^4} \right) + 1. x^{0} \left( \frac{2^5}{x^5} \right) \\ & = x^5 + 5. x^{4} \left( \frac{2}{x} \right) + 10. x^{3} \left( \frac{4}{x^2} \right) \\ & + 10. x^{2} \left( \frac{8}{x^3} \right) + 5. x^{1} \left( \frac{16}{x^4} \right) + 1. x^{0} \left( \frac{32}{x^5} \right) \\ & = x^5 + 10 x^{3} + 40 x^{1} \\ & + 80 \left( \frac{1}{x} \right) + 80 \left( \frac{1}{x^3} \right) + \left( \frac{32}{x^5} \right) \\ \left( x + \frac{2}{x} \right)^5 & = x^5 + 10 x^{3} + 40 x + \frac{80}{x} + \frac{80}{x^3} + \frac{32}{x^5} \end{align} $
Menentukan Suku dan Koefisien Binomial
Dari rumus Binomial Newton berikut ini, $(a+b)^n = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n a^{n-r}b^r \, \, $ Maka suku ke-$k$ bentuk suku banyak hasil penjabarannya dapat ditentukan dengan rumus : Suku ke-$k \, $ adalah $ \, C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} $.
Misalkan ada bentuk $ (2a + 3b)^3 \, $ yang bisa dijabarkan menjadi :
$ \begin{align} (2a + 3b)^3 & = 8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3 \end{align} $
Suku-suku dari ekspansi binomial $ (2a + 3b)^3 \, $ adalah :
Suku ke-1 : $ \begin{align} 8a^3 \end{align} \, $ dengan koefisiennya 8.
Suku ke-2 : $ \begin{align} 36a^2b \end{align} \, $ dengan koefisiennya 36.
Suku ke-3 : $ \begin{align} 54ab^2 \end{align} \, $ dengan koefisiennya 54.
Suku ke-4 : $ \begin{align} 27b^3 \end{align} \, $ dengan koefisiennya 27.
Tentu kita tidak perlu menjabarkan sejara keseluruhan suku-sukunya jika hanya menentukan suku tertentu saja. Misalkan kita ingin mencari suku ke-2 dari bentuk binomial $ (2a + 3b)^3 \, $ , maka kita peroleh :
Suku ke-2 dengan $ k = 2 $ :
$ \begin{align} C_{(k-1)}^n x^{n-(k-1)}y^{k-1} & = C_{(2-1)}^3 (2a)^{3-(2-1)}(3b)^{2-1} \\ & = C_{1}^3 (2a)^{2}(3b)^{1} \\ & = 3. 4.a^2 .3b = 36a^2b \end{align} $.
artinya suke ke-2 dari binomial $ (2a + 3b)^3 \, $ adalah $ 36a^2b \, $ yang sesuai dengan bentuk di atasnya.
2). Tentukan suku ke-3 dari binomial $ (2x - 5y)^{20} \, $ dan besar koefisiennya.
*). Bentuk binomialnya : $ (2x - 5y)^{20} \, $ artinya $ n = 20 $.
*). Yang diminta suku ke-3 artinya $ k = 3 $.
Rumus suku ke-$k \, $ adalah $ \, C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} $ .
Suku ke-2 yaitu dari $ (2x - 5y)^{20} = (2x + (- 5y))^{20} \, $ :
$ \begin{align} C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = C_{(3-1)}^{20} (2x)^{20-(3-1)}(-5y)^{3-1} \\ & = C_{2}^{20} (2x)^{18}(-5y)^{2} \\ & = \frac{20!}{(20-2)!2!} . 2^{18}.x^{18}(-5)^2.y^{2} \\ & = \frac{20!}{18!2!} . 2^{18}.x^{18}.25.y^{2} \\ & = \frac{20.19.18!}{18!.2.1} . 2^{18}.x^{18}.25.y^{2} \\ & = \frac{20.19}{2} . 2^{18}.x^{18}.25.y^{2} \\ & = 190 . 2^{18}.x^{18}.25.y^{2} \\ & = (190 \times 2^{18} \times 25). x^{18}y^{2} \\ & = 4750 \times 2^{18} x^{18}y^{2} \end{align} $.
Sehingga suku ke-3 dari $ (2x - 5y)^{20} \, $ adalah $ \, 4750 \times 2^{18} x^{18}y^{2} \, $ dengan koefisiennya adalah $ 4750 \times 2^{18} $.
Untuk soal nomor 3 dan nomor 4 berikut gunakan beberapa sifat eksponen :
$ \frac{1}{a^n} = a^{-n} \, $ dan $ \, a^m . a^n = a^{m+n} $
3). Diketahi bentuk binomial $ (3a + b)^{50} \, $. Tentukan koefisien dari suku yang berbentuk $ a^{26}b^{24} \, $ dan terletak pada suku ke berapakah suku tersebut.
*). Bentuk $ (3a + b)^{50} \, $ , artinya $ n = 50 $.
*). Rumus suku ke-$k $ adalah $ C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} \, $ sehingga sama dengan $ a^{26}b^{24} $.
$ \begin{align} a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = a^{26}b^{24} \\ a^{50-(k-1)}b^{k-1} & = a^{26}b^{24} \\ a^{50-(k-1)}b^{k-1} & = a^{26}b^{24} \end{align} $.
Dari persamaan terakhir di atas diperoleh : $ k - 1 = 24 \rightarrow k = 25 $.
Artinya bentuk $ a^{26}b^{24} \, $ adalah suku ke-25.
*). Menentukan koefisien suku ke-25 dengan $ k = 25 $ dari bentuk $ (3a + b)^{50} \, $
$ \begin{align} C_{(k-1)}^n x^{n-(k-1)}x^{k-1} & = C_{(25-1)}^{50} (3a)^{50-(25-1)}(b)^{25-1} \\ & = C_{24}^{50} (3a)^{26}(b)^{24} \\ & = C_{24}^{50} 3^{26}a^{26}b^{24} \end{align} $.
Jadi, koefisien dari bentuk $ a^{26}b^{24} \, $ adalah $ C_{24}^{50} \times 3^{26} $.
4). Diketahui bentuk binomial $ \left( x - \frac{1}{x} \right)^{2016} \, $ . Tentukan suku yang memuat bentuk $ x^{16} \, $ dan besar koefisiennya.
*). Bentuk $ \left( x - \frac{1}{x} \right)^{2016} \, $ , artinya $ n = 2016 $.
*). Rumus suku ke-$k $ adalah $ C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} \, $ sehingga sama dengan $ x^{16} $.
Bentuk $ \left( x - \frac{1}{x} \right)^{2016} = \left( x + (- \frac{1}{x} ) \right)^{2016} \, $ artinya $ a = x \, $ dan $ b = - \frac{1}{x} = -x^{-1} $.
$ \begin{align} a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = x^{16} \\ x^{2016-(k-1)}\left( -x^{-1} \right)^{k-1} & = x^{16} \\ x^{2017-k} . (-1)^{k-1} . \left( x^{-1} \right)^{k-1} & = x^{16} \\ (-1)^{k-1} . x^{2017-k} . \left( x \right)^{1-k} & = x^{16} \\ (-1)^{k-1} . x^{(2017-k)+(1-k)} & = x^{16} \\ (-1)^{k-1} . x^{2018 - 2k} & = x^{16} \\ \end{align} $.
Dari persamaan terakhir di atas diperoleh : $ 2018 - 2k = 16 \rightarrow k = 1001 $.
Artinya bentuk $ x^{16} \, $ adalah suku ke-1001.
*). Menentukan koefisien suku ke-1001 dengan $ k = 1001 $ dari bentuk $ \left( x - \frac{1}{x} \right)^{2016} \, $
$ \begin{align} C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = C_{(1001-1)}^{2016} (x)^{2016-(1001-1)}(-x^{-1})^{1001-1} \\ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016}(-x^{-1})^{1000} \\ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016}(x^{-1})^{1000} \\ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016}(x)^{-1000} \\ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016 + (-1000)} \\ & = C_{1000}^{2016} x^{16} \end{align} $.
Jadi, koefisien dari bentuk $ x^{16} \, $ adalah $ C_{1000}^{2016} $.
Blog Koma – Sebelumnya kita telah belajar materi “Kombinasi pada Peluang dan Contohnya” yang merupakan bagian dari kaidah pencacahan. Ternyata konsep kombinasi bisa dikembangkan pada pembahasan Binomial. Pada artikel kali ini kita akan membahas lebih spesipik tentang Konsep Binomial Newton (Ekspansi Newton). Binomial Newton mempelajari tentang cara penjabaran(ekspansi) bentuk pangkat aljabar yang terdiri dari dua suku (binomial).
Untuk menjabarkan bentuk pangkat aljabar dua suku bisa menggunakan sigitiga Pascal seperti berikut ini :
Dari bentuk segitiga pascal tersebut dapat membantu dalam penjabaran pangkat dua suku berikut dimana angka-angka pada segitiga pascal merupakan koefisien dari setiap sukunya: $ \begin{align} (a+b)^0 & = 1 \\ (a+b)^1 & = a + b \\ (a+b)^2 & = a^2 + 2ab + b^2 \\ (a+b)^3 & = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \\ (a+b)^4 & = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + y^4 \\ (a+b)^5 & = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5 \\ (a+b)^n & = ….. \end{align} $
Tetapi ada metode lain yang lebih mudah diterapkan untuk mencari koefisien binomial yaitu dengan menggunakan Konsep kombinasi $ C_r^n \, $ yang dinamakan Binomial Newton (Ekspansi Binomial), sehingga segitiga pascal dapat ditulis sebagai berikut.
Kombinatorika - Ekspansi Binomial
Matematika adalah alat yang hebat yang membantu kita mengungkap dunia yang kita tinggali. Dalam proyek ini, kita akan membahas konsep yang disebut "Jumlah Koefisien Binomial", yang mungkin terlihat kompleks pada awalnya, tetapi akan meresap dalam banyak aspek dari studi Matematika kita. Konsep ini didasarkan pada teorema Newton yang terkenal, yang merupakan ekspansi dari binomial (a+b)^n. Binomial Newton bukan hanya trik matematika, tetapi alat yang memungkinkan kita mengerti fenomena alam dan ilmiah.
Teorema binomial, atau binomial Newton, adalah rumus yang memberikan ekspansi pangkat dari binomial. Teorema ini memiliki aplikasi praktis dalam beragam bidang, termasuk Fisika dan Teknik. Oleh karena itu, memahami jumlah koefisien sangat penting untuk membedakan ekspansi dari binomial. Artinya jumlah koefisien dari binomial akan sama dengan (a+b)^n.
Aplikasi dari teori binomial dan jumlah koefisiennya sangat luas. Misalnya, di bidang Fisika, ekspansi binomial dapat digunakan untuk mendekati nilai dalam beberapa persamaan, sementara di bidang Statistik, ekspansi ini digunakan dalam distribusi binomial. Di Ilmu Komputer, ekspansi binomial dan jumlah koefisien diaplikasikan pada algoritma dan program.
Untuk membantu Anda mendalami topik ini, berikut beberapa sumber terpercaya:
Konsep Binomial Newton (Ekspansi Newton)
Berikut adalah rumus Binomial Newton secara umum : $(a+b)^n = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n a^{n-r}b^r \, \, $ atau $ (a+b)^n = C_0^n a^n + C_1^n a^{n-1}b + … + C_{n-1}^nab^{n-1} + C_n^nb^n $ dengan $ n, \, r \, $ adalah bilangan asli.
Keterangan : Bentuk $ \displaystyle \sum_{r=0}^n \, $ disebut notasi sigma yang merupakan pejumlahan. Berikut beberapa contoh notasi sigma : $ \displaystyle \sum_{r=0}^3 r^2 = 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^3 $ $ \displaystyle \sum_{i=2}^5 (2i+1) = (2.2+1) + (2.3+1) + (2.4+1) + (2.5+1) $ $ \displaystyle \sum_{k=1}^9 (k^3 + k) = (1^3 + 1) + (2^3 + 2) + (3^3 + 3) + (4^3 + 4) + … + (9^3 + 9) $
Materi yang Diperlukan
Tentang Yosep Dwi Kristanto
Tahun 2012 memulai blogging untuk menyediakan sumber belajar matematika online, yang semoga dapat memberikan kontribusi bagi pendidikan di Indonesia. Pengagum pendekatan kontekstual dalam proses pembelajaran.
Menentukan Suku dan Koefisien Binomial
$(a+b)^n = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n a^{n-r}b^r \, \, $
Maka suku ke-$k$ bentuk suku banyak hasil penjabarannya dapat ditentukan dengan rumus : Suku ke-$k \, $ adalah $ \, C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} $.
Misalkan ada bentuk $ (2a + 3b)^3 \, $ yang bisa dijabarkan menjadi : $ \begin{align} (2a + 3b)^3 & = 8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3 \end{align} $ Suku-suku dari ekspansi binomial $ (2a + 3b)^3 \, $ adalah : Suku ke-1 : $ \begin{align} 8a^3 \end{align} \, $ dengan koefisiennya 8. Suku ke-2 : $ \begin{align} 36a^2b \end{align} \, $ dengan koefisiennya 36. Suku ke-3 : $ \begin{align} 54ab^2 \end{align} \, $ dengan koefisiennya 54. Suku ke-4 : $ \begin{align} 27b^3 \end{align} \, $ dengan koefisiennya 27. Tentu kita tidak perlu menjabarkan sejara keseluruhan suku-sukunya jika hanya menentukan suku tertentu saja. Misalkan kita ingin mencari suku ke-2 dari bentuk binomial $ (2a + 3b)^3 \, $ , maka kita peroleh : Suku ke-2 dengan $ k = 2 $ : $ \begin{align} C_{(k-1)}^n x^{n-(k-1)}y^{k-1} & = C_{(2-1)}^3 (2a)^{3-(2-1)}(3b)^{2-1} \\ & = C_{1}^3 (2a)^{2}(3b)^{1} \\ & = 3. 4.a^2 .3b = 36a^2b \end{align} $. artinya suke ke-2 dari binomial $ (2a + 3b)^3 \, $ adalah $ 36a^2b \, $ yang sesuai dengan bentuk di atasnya.
Contoh soal koefisien binomial : 2). Tentukan suku ke-3 dari binomial $ (2x – 5y)^{20} \, $ dan besar koefisiennya. Penyelesaian : *). Bentuk binomialnya : $ (2x – 5y)^{20} \, $ artinya $ n = 20 $. *). Yang diminta suku ke-3 artinya $ k = 3 $. Rumus suku ke-$k \, $ adalah $ \, C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} $ . Suku ke-2 yaitu dari $ (2x – 5y)^{20} = (2x + (- 5y))^{20} \, $ : $ \begin{align} C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = C_{(3-1)}^{20} (2x)^{20-(3-1)}(-5y)^{3-1} \\ & = C_{2}^{20} (2x)^{18}(-5y)^{2} \\ & = \frac{20!}{(20-2)!2!} . 2^{18}.x^{18}(-5)^2.y^{2} \\ & = \frac{20!}{18!2!} . 2^{18}.x^{18}.25.y^{2} \\ & = \frac{20.19.18!}{18!.2.1} . 2^{18}.x^{18}.25.y^{2} \\ & = \frac{20.19}{2} . 2^{18}.x^{18}.25.y^{2} \\ & = 190 . 2^{18}.x^{18}.25.y^{2} \\ & = (190 \times 2^{18} \times 25). x^{18}y^{2} \\ & = 4750 \times 2^{18} x^{18}y^{2} \end{align} $. Sehingga suku ke-3 dari $ (2x – 5y)^{20} \, $ adalah $ \, 4750 \times 2^{18} x^{18}y^{2} \, $ dengan koefisiennya adalah $ 4750 \times 2^{18} $.
Untuk soal nomor 3 dan nomor 4 berikut gunakan beberapa sifat eksponen : $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} \, $ dan $ \, a^m . a^n = a^{m+n} $
3). Diketahi bentuk binomial $ (3a + b)^{50} \, $. Tentukan koefisien dari suku yang berbentuk $ a^{26}b^{24} \, $ dan terletak pada suku ke berapakah suku tersebut. Penyelesaian : *). Bentuk $ (3a + b)^{50} \, $ , artinya $ n = 50 $. *). Rumus suku ke-$k $ adalah $ C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} \, $ sehingga sama dengan $ a^{26}b^{24} $. $ \begin{align} a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = a^{26}b^{24} \\ a^{50-(k-1)}b^{k-1} & = a^{26}b^{24} \\ a^{50-(k-1)}b^{k-1} & = a^{26}b^{24} \end{align} $. Dari persamaan terakhir di atas diperoleh : $ k – 1 = 24 \rightarrow k = 25 $. Artinya bentuk $ a^{26}b^{24} \, $ adalah suku ke-25. *). Menentukan koefisien suku ke-25 dengan $ k = 25 $ dari bentuk $ (3a + b)^{50} \, $ $ \begin{align} C_{(k-1)}^n x^{n-(k-1)}x^{k-1} & = C_{(25-1)}^{50} (3a)^{50-(25-1)}(b)^{25-1} \\ & = C_{24}^{50} (3a)^{26}(b)^{24} \\ & = C_{24}^{50} 3^{26}a^{26}b^{24} \end{align} $. Jadi, koefisien dari bentuk $ a^{26}b^{24} \, $ adalah $ C_{24}^{50} \times 3^{26} $.
4). Diketahui bentuk binomial $ \left( x – \frac{1}{x} \right)^{2016} \, $ . Tentukan suku yang memuat bentuk $ x^{16} \, $ dan besar koefisiennya. Penyelesaian : *). Bentuk $ \left( x – \frac{1}{x} \right)^{2016} \, $ , artinya $ n = 2016 $. *). Rumus suku ke-$k $ adalah $ C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} \, $ sehingga sama dengan $ x^{16} $. Bentuk $ \left( x – \frac{1}{x} \right)^{2016} = \left( x + (- \frac{1}{x} ) \right)^{2016} \, $ artinya $ a = x \, $ dan $ b = – \frac{1}{x} = -x^{-1} $. $ \begin{align} a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = x^{16} \\ x^{2016-(k-1)}\left( -x^{-1} \right)^{k-1} & = x^{16} \\ x^{2017-k} . (-1)^{k-1} . \left( x^{-1} \right)^{k-1} & = x^{16} \\ (-1)^{k-1} . x^{2017-k} . \left( x \right)^{1-k} & = x^{16} \\ (-1)^{k-1} . x^{(2017-k)+(1-k)} & = x^{16} \\ (-1)^{k-1} . x^{2018 – 2k} & = x^{16} \\ \end{align} $. Dari persamaan terakhir di atas diperoleh : $ 2018 – 2k = 16 \rightarrow k = 1001 $. Artinya bentuk $ x^{16} \, $ adalah suku ke-1001. *). Menentukan koefisien suku ke-1001 dengan $ k = 1001 $ dari bentuk $ \left( x – \frac{1}{x} \right)^{2016} \, $ $ \begin{align} C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = C_{(1001-1)}^{2016} (x)^{2016-(1001-1)}(-x^{-1})^{1001-1} \\ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016}(-x^{-1})^{1000} \\ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016}(x^{-1})^{1000} \\ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016}(x)^{-1000} \\ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016 + (-1000)} \\ & = C_{1000}^{2016} x^{16} \end{align} $. Jadi, koefisien dari bentuk $ x^{16} \, $ adalah $ C_{1000}^{2016} $.
Kali ini kita akan membahas materi selanjutnya yaitu tentang Binomial Newton. Salah satu materi penting dalam Peluang yang akan kita bahas selanjutnya.
Binomial Newton adalah teorema yang menjelaskan mengenai pengembangan eksponen dari penjumlahan antara dua variabel (binomial).
Dalam Binomial Newton menggunakan koefisien-koefisien
Untuk n = 2 diperoleh :
Untuk n = 3 diperoleh :
untuk mempermudah kita dalam menetukan koefisien binomial, maka dapat digunakan dengan konsep kombinasi yang dikenal dengan Binomial Newton atau Ekspansi Binomial.
Rumus Binomial Newton dinyatakan sebagai berikut:
dengan n dan k adalah bilangan asli.
Untuk mempermudah pemahaman kalian tentang Notasi Sigma dan Kombinasi , silahkan dibaca link berikut:
Menentukan Koefisien dan Suku Binomial Newton
Dalam menentukan koefisien dan suku Binomial Newton dapat diperoleh dengan cara:
Jika yang ditanya adalah suku ke-m dari hasil penjabaran di atas dapat ditentukan dengan rumus:
Ingat saja: Jika ditanya suku ke-m maka kurangi 1 jadi m-1
Jadi, koefisein suku ke 7 adalah 2.562.560
Tumatan Wikipidia Banjar, kindai pangatahuan
Dalam matamatika bidang aljabar elementer, teorema binomial adalah rumus penting nang mambariakan ekspansi atawa pangkat dari penjumlahan antara dua variabel. Versi nang paling sederhana menyambat bahwa:
Gasan setiap bilangan riil atawa kompleks x dan y, serta barataan bilangan bulat taknegatif n. Koefisien binomial nang muncul dalam persamaan (1) kawa didefinisikan dalam bentuk fungsi faktorial n!:
Gasan contoh, gasan 2 ≤ n ≤ 5:
Gasan binomial nang mamakai pengurangan, teorema binomial kawa diterapkan dengan tanda nang balawanan pada suku berikutnya:
Paristiwa-paristiwa khusus tarkait teorema binomial nang dikatahui sejak zaman kuno diikhtisarkan barikut ngini:
Abad ka-4 SM matematikawan Yunani Euklides manyambat kasus khusus teorema binomial hagan eksponen 2.[1][2] Ada bukti bahwa teorema binomial hagan kubus sudah dikatahui pas abad ka-6 di India.[1][2]
Koefesien binomial, nang kaya jumlah kumbinasi nang manampaiakan banyak cara hagan mamilih k ubjik matan n tanpa panggantian, sudah manjadi parhatian urang-urang Hindu kuno. Referensi paling pamulaan nang dikatahui manganai parmasalahan kumbinasi ngini adalah Chandaḥśāstra karya panulis Hindu, Pingala (sakitar 200 SM), nang mamuat suatu mitude hagan sulusinya.[3]:230 Saikung panaliti bangaran Halayudha matan abad ka-10 M manjalasakan manganai mitudi ngini manggunaakan nang wayahini dipinandui lawan ngaran segitiga Pascal.[3] Haratan abad ka-6 M, matematikawan Hindu mungkin sudah mangatahui cara manunjukkannya dalam sabuting parsamaan n ! ( n − k ) ! k ! {\displaystyle {\frac {n!}{(n-k)!k!}}} ,[4] wan suatu pernyataan nang jelas manganai aturan ngini kawa ditamuakan dalam naskah abad ka-12 Lilavati karya Bhaskara.[4]
Teorema binomial nang sama kawa ditamuakan pada hasil tulisan matematikawan Persia abad ka-11, Al-Karaji, nang manggambarakan pola sagitiga matan koefisien binomial.[5] Inya jua mambarii juga pembuktian matematika matan teorema binomial wan sagitiga lawan mamakai sabuting bantuk sadarhana matan induksi matematika.[5] Penyari wan matematikawan Persia Umar Khayyām mungkin sudah akrab lawan rumus-rumus lawan pangkat nang tatinggi, maskipun banyak karya-karya matematikanya hilang.[2] Ekspansi binomial lawan derajat halus sudah dikatahui ulih matematikawan abad ka-13 bangaran Yang Hui[6] wan Zhu Shijie.[2] Yang Hui mahubungakan mitudi ngitu lawan naskah nang jauh labih pamulaan baasal matan abad ka-11 tulisan Jia Xian, maskipun tulisan-tulisannya wayahini jua hilang.[3]:142
Di aljabar, penjumlahan dua suku, seperti a + b, disebut binomial. Teorema binomial memberikan bentuk ekspansi dari pangkat binomial (a + b)n, untuk setiap n bilangan bulat tidak negatif dan semua bilangan real a dan b.
Perhatikan apa yang terjadi ketika kita menghitung beberapa pangkat yang pertama dari a + b. Berdasarkan sifat distributif, kita mendapatkan bahwa pangkat dari a + b merupakan penjumlahan dari suku-suku yang berupa kombinasi perkalian dari a dan b. Perhatikan ilustrasi berikut.
Sekarang perhatikan ekspansi dari (a + b)4. Suku-suku dari ekspansi ini diperoleh dengan mengalikan satu dari dua suku faktor pertama dengan satu dari dua suku faktor kedua dengan satu dari dua suku faktor ketiga dan dengan satu dari dua suku faktor keempat. Sebagai contoh, suku abab diperoleh dengan mengalikan suku-suku a dan b yang ditandai dengan tanda panah.
Karena ada dua kemungkinan a dan b dari setiap suku yang dipilih pada 1 dari 4 faktor suku-suku ekspansi binomial, maka akan ada 24 = 16 suku ekspansi (a + b)4.
Selanjutnya, suku-suku serupa, yaitu suku-suku yang memiliki faktor a dan b sama banyak dapat dikombinasikan karena perkalian bersifat komutatif. Tetapi kita perlu mengetahui banyaknya masing-masing suku yang serupa tersebut. Sebagai contoh kita akan menentukan banyaknya suku yang terdiri dari tiga a dan satu b. Untuk menentukan banyaknya suku ini sama dengan menentukan banyaknya cara kita mengambil 1 bilangan 1 sampai 4 sebagai nomor urut dari faktor b. Salah satu contohnya kita mungkin mendapat bilangan 3 yang merepresentasikan aaba (3 merupakan nomor urut dari b, sedangkan sisanya menjadi nomor urut a). Contoh lain, kita mungkin mendapat bilangan 1 yang merepresentasikan baaa. Sehingga banyaknya suku yang terdiri dari tiga a dan satu b adalah kombinasi 1 dari 4 yaitu 4. Semua suku yang terdiri dari tiga a dan satu b adalah aaab, aaba, abaa, dan baaa.
Berdasarkan sifat komutatif dan asosiatif perkalian, keempat suku tersebut memiliki nilai yang sama dengan a3b. Karena suku-suku yang sama dengan a3b berjumlah 4, maka koefisien dari a3b adalah 4, yang diperoleh dari kombinasi 1 (pangkat dari salah satu faktor a3b, yaitu b) dari 4 (jumlah pangkat dari semua faktor a3b).
Dengan cara yang sama, kita akan mendapat 6 (diperoleh dari kombinasi 2 dari 4) suku yang terdiri dari dua a dan dua b, yaitu aabb, abab, abba, baab, baba, dan bbaa. Sehingga koefisien dari suku a2b2 adalah 6. Cara ini juga berlaku untuk menentukan koefisien dari suku-suku ekspansi (a + b)4 lainnya.
Teorema binomial menggeneralisasi rumus di atas untuk sembarang pangkat n bilangan bulat tidak negatif.
Teorema Binomial Diberikan sembarang bilangan real a dan b, serta bilangan bulat tidak negatif n,
Perhatikan bahwa bentuk kedua dan pertama pada persamaan di atas adalah sama, karena kombinasi 0 dari n sama dengan satu, demikian juga dengan kombinasi n dari n. Untuk lebih memahami mengenai penggunaan teorema binomial dalam pemecahan masalah, perhatikan contoh berikut.
Contoh: Penggunaan Teorema Binomial dalam Pemecahan Masalah
Dengan menggunakan teorema binomial, tunjukkan bahwa
untuk semua bilangan bulat n ≥ 0.
Pembahasan Karena 2 = 1 + 1, maka 2n = (1 + 1)n. Dengan menerapkan teorema binomial dengan a = 1 dan b = 1, diperoleh
Karena 1n – k = 1 dan 1k = 1. Akibatnya,
Apabila diperhatikan, rumus di atas sama dengan banyaknya semua himpunan bagian dari himpunan yang memiliki n anggota/elemen, karena setiap himpunan bagian tersebut terdiri dari kombinasi 0, 1, 2, …, n dari n yang merupakan banyaknya anggota dari himpunan tersebut. Semoga bermanfaat, yos3prens.
Deskripsi Proyek Secara Detail
Proyek ini akan dilakukan oleh kelompok yang terdiri dari 3 hingga 5 siswa, di mana tiap kelompok akan diberi tugas untuk menyelesaikan sejumlah soal ekspansi binomial, menghitung jumlah koefisien untuk tiap soal, dan akhirnya mendiskusikan relevansi dan aplikasi dari konsep ini.
Semua kelompok akan menerima sejumlah soal ekspansi binomial dan harus bekerja sama untuk menyelesaikannya.
